LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 7

Iloczyn dwóch liczb jest równy 180, a ich NWD wynosi 3. Co to za liczby ? Czy istnieje tylko jedna para takich liczb?

Rozwiązanie

x, y- szukane liczby

NWD(x, y)=3  więc x=3a i y=3b
gdzie a, b są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, tzn. takimi, że NWD(a,b)=1 (bo inaczej NWD(x,y) byłoby większe niż 3).

xy=180
3a*3b=180
9ab=180
ab=20

Liczbę 20 należy przedstawić jako iloczyn liczb względnie pierwszych:
  1. 1×20 = 20, stąd a=1, b=20, x=3, y=60.
  2. 4×5 = 20, stąd a=4. b=5, x=12, y=15.
Innych możliwości nie ma.

Odpowiedź

Szukane liczby to 3 i 60 lub 12 i 15.